贾宪

贾宪 - 人物简介

贾宪，11世纪前半叶中国北宋数学家。贾宪是中国十一世纪上半叶（北宋）的杰出数学家．曾撰《黄帝九章算法细草》（九卷）和《算法古集》（二卷）（“”读：xi4o，意：教导），都已失传。据《宋史》记载，贾宪师从数学家楚衍学天文、历算，著有《黄帝九章算法细草》，《释锁算书》等书。贾宪著作已佚，但他对数学的重要贡献，被南宋数学家杨辉引用，得以保存下来。

贾宪的主要贡献是创造了贾宪三角和增乘开方法．增乘开方法即求高次幂的正根法．目前中学数学中的综合除法，其原理和程序都与它相仿．增乘开方法比传统的方法整齐简捷，又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性．增乘开方法的计算程序大致和欧洲数学家霍纳（公元1819年）的方法相同，但比他早770年。在中国数学史上贾宪最早发现贾宪三角形。杨辉在所著《详解九章算法》《开方作法本元》一章中作贾宪开方作法图，并说明“出释锁算书，贾宪用此术”。贾宪开方作法图就是贾宪三角形。杨辉还详细解说贾宪还发明的释锁开平方法，释锁开立方法，增乘开平方法，增乘开立方法。

贾宪 - 数学成就

贾宪的老师楚衍是北宋前期著名的天文学家和数学家，“于《九章》、《缉古》、《缀术》、《海岛》诸算经尤得其妙”。当时人王洙(997---1057)有记载：“世司天算，楚，为首。既老昏，有，子贾宪、朱吉著名。宪今为左班殿直，吉隶太史。宪运算亦妙，有书传于世。”根据记载贾宪著有《黄帝九章算经细草》九卷、《算法斅古集》二卷及《释锁》，可惜均已失传。杨辉著《详解九章算法》(1261年)中曾引用贾宪的“开方作法本源”图(即指数为正整数的二项式展开系数表，现称“杨辉三角形”)和“增乘开方法”(求高次幂的正根法)。前者比帕斯卡(PascalBlaise，1623---1662)三角形早600年，后者比霍纳(WilliamGeogeHorner，1786—1837)的方法(1819年)早770年。此外，“立成释锁开方法”的给出，“勾股生变十三图”的完善,以及“增乘方求廉法”的创立，都表明贾宪对算法抽象化、程序化、机械化作出了重要贡献。

贾宪 - 数学方法论

虽然有关贾宪的资料保存下来的并不完整，但从杨辉缉录的细草中，我们仍然可以发现他的一些独到的数学思想和方法，主要有以下两点。

(一)抽象分析法

在研究《九章》过程中，贾宪使用了抽象分析法，尤其在解决勾股问题是更为突出，他首先提出了“勾股生变十三图”。他说：“勾股弦并而为和，减而为较，等而为变，为乘，为段，自乘为积，为幂。”十三名指勾(a)、股(b)、弦(c)、勾股较(b-a)、勾弦较(c-a)、股弦较(c-b)、勾股和(a+b)、勾弦和(a+c)、股弦和(b+c)、弦较和(c+(b-a))、弦和和(c+(a+b))、弦和较((a+b)-c)、弦较教(c-(b-a))。他完备了勾股弦及其和差的所有关系，说这些关系“有用而取，无用不取，立图而验之”，说明他已经抛开《九章》算题本身而对勾股问题进行抽象分析了。

例如“出南北门测邑方”问，《九章》的方法是：术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之为实，并出南门步数为从法，开方除之即邑方。贾宪的方法是：术曰：余勾乘股，倍之为实并二余勾为从，开方除不。正是掌握了这一方法，才使他能够使用纯数学的方法改写《九章》术文，给后人留下公式化的解题范例。在方程术等其他章节的细草中，他也广泛运用了这种方法。

(二)程序化方法

程序化方法主要是指探究问题的思维程序、过程和步骤.适用于同一理论体系下，同一类问题的解决。贾宪的“增乘开方法”和“增乘方求廉法”尤其集中地体现了这一方法，比如少广章有：“今有积一百八十六万八百六十七尺，问：为立方几何?”这是一道对1860867开三次方的问题。贾宪的方法是：草曰：(1)实上商置第一位得数一百。(2)以上商乘下法置廉一百,乘廉为方一万，除实，讫。(3)复以上商一百乘下法入廉共二百，乘廉入方共三万。(4)又乘下法入廉共三百。(5)其方一、廉二、下三退定十。(6)再于第一位商数之次，复商第二位得数二十，以乘下法入廉共三百二十，乘廉入方共三万六千四百，命上商除实，讫余一十三万二千八百六十七。(7)复以次商二十乘下法入廉共三百四十，乘廉入方共四万三千二百尺。(8)又乘下法入廉共三百六十。(9)其方一、廉二、下三退，如前。(10)上商第三位得数三尺，乘下法入廉共三百六十三，乘廉入方共四万四千二百八十九，命上商三尺除实，适尽，得立方一面之数。

用现代表述方式体现为：
下法廉方实商
(1)1000000+00-18608671
+1000000+10000001000000
(2)1000000+1000000+1000000-860867
+1000000+2000000
(3)1000000+2000000+3000000
+1000000
(4)1000000+3000000+3000000-860867
1000+30000+300000-8608672
+2000+64000728000
(6)1000+32000+364000-132867
+2000+68000
(7)1000+34000+432000
+2000
(8)1000+36000+432000-132867
1+360+43200-1328673
+3+1089+132867
(10)1+363+442890

我们注意到，这个开立方过程已经形成固定的程序。当代学者研究发现，程序化的数学思想方法是中国古代数学的重要特点，而贾宪的工作则使得开方程序系统化、规范化。贾宪的数学方法论，对宋元数学家产生了深远影响，纵观“宋元四大家”，莫不从中汲取精髓。

贾宪 - 教育思想

贾宪是否从事过数学教学工作，我们不得而知，但就宋初私学活跃以及数学地位而言，不能排除他传授数学知识的可能性，“宪运算亦妙，有书传于世”当可佐证。我们知道，古代学者著书立说目的之一就是教育世人，因此我们有理由探讨贾宪的数学教育思想。仔细研究细草，从中可以发现其数学教育思想的闪光之处。

(一)重视对一般性解法的抽象

“增乘开方法”的两例细草中，可以清楚的看到，剔除数字后得到的就是运算法则。而且这种细草方式是贯穿其著述(就现存而言)始终的。贾宪之所以这样做，应该是深受中国古代早已有之的“授人以鱼不如授人以渔”的教育思想影响。据现在所知，《黄帝九章算经细草》约成书于1050年前后，此书出版后，在社会上流传较广，在一定程度上逐渐代替了《九章算术》。南宋鲍浣之于1200年说：“自衣冠南渡以来,此学(指算学)既废，非独好之者寡，而《九章算经》亦几泯没无传矣。近世民间之本，题之曰《黄帝九章》……”这也是当时社会对其数学教育思想的认可。

(二)注重对知识纲要的概括

贾宪在给出“立成释锁开方法”之后，又提出“增乘方求廉法”并给出六阶贾宪三角，解释开各次方之间的联系。讨论勾股问题则先论“勾股生变十三图”，而后谈论问题的解法，给人以清晰的体系感。他的这些尝试,都体现了对知识纲要的重视。郭书春先生认为，这是贾宪“列出概括性理论”，“是演绎逻辑的一种发展”。体现在数学教育上，注重对知识纲要的概括，也不失为一种良好的教学方法。

(三)系统化的数学教育思想

现存资料显示，贾宪没有涉足刘徽的分数和求微数(即极限理论)领域，他的师兄弟朱吉也曾批评他“弃去余分，于理未尽”。再加上他在《黄帝九章算经细草》中所讨论的开方问题未涉及开不尽情况，他甚至把《九章》中有分数解的问题改题设以得整数解。这些迹象表明他的工作是建立在整数集之上的。在此基础上他提纲挈领的概括了勾股和开方问题，给出了诸多其他问题的一般性解法，从中我们隐约可以看到系统化方法的痕迹。以贾宪的数学知识水平，他不可能不熟知分数，也不会不了解刘徽的求微数思想，只是他对开方开不尽的问题没有研究透彻。因此在他的著述中才回避了分数，目的是把自己掌握的数学知识，系统地传于世人，这在古代数学教育史上是难能可贵的。

(四)注重发散性思维的锻炼

贾宪讨论九章诸类问题时，不是固守前人的思路和算法，发现了很多新的计算方法。在均输章中，他提出了“课分法”、“减分法”，以及用“方程术”求差率的方法;在盈不足章中，他提出了“今有术”、“合率术”、“分率术”、“方程术”、“两不足术”等方法；在“勾股容方”问中，他提出“勾股旁要法”等等。由此可见，贾宪不仅注重概括理论化的研究方法，同时也身体力行地致力于发散性思维的锻炼，这对于知识的创新是大有裨益的。贾宪对数学教育的系统化、纲领化、普遍化(抽象化)及思维的多样化都有一套独到的见解，许多方面是我们可以借鉴的。

贾宪 - 地位及影响

《九章算术》是十一世纪以前中国最著名的数学著作，在其流传过程中，为其做草的人很多。而在数学理论上有突出贡献的主要是三位数学家----刘徽(理论基础的奠定)、贾宪(理论水平的提高)和杨辉(理论的基本完善)，贾宪起着承前启后的作用。另一方面，魏晋南北朝兴起的数学研究热潮自唐而中断，贾宪的数学方法论又激发了宋元的数学研究热潮，他又起到推波助澜的作用。具体表现在以下两个方面。

(一)数学思想的影响

贾宪对于《九章算术》中提出的问题，抽象分析，揭示数学本质；借助程序化，讲解方法的原理；提纲挈领，梳理知识脉络；注重知识系统化，避免产生悖论。这些思想方法对宋元数学家有很深的影响。杨辉著《详解九章算法》借鉴了贾宪的抽象和探索成果，对《九章》各题重新纂类。李冶著《测圆海镜》就继承并发扬了这些数学方法，建立了一个逻辑严密的演绎体系。朱世杰著《四元玉鑑》也用到这些思想方法，成就了我过古代数学史上的巅峰之作。秦九韶著《数术大略》即(《数学九章》)作术而不言具体数字更是师法贾宪，可见其方法论的生命力。当然，这些数学思想方法也并非贾宪独创，也是历代数学著述、研究、积累的结果，而贾宪又将其提炼和传承。

(二)数学成就的影响

首先，贾宪的“增乘开方法”开创了开高次方的研究课题，后经秦九韶“正负开方术”加以完善，使高次方程求正跟的问题得以解决。加之从李冶的天元术(一元一次或高次方程)到朱世杰的四元术(四元一次或高次方程组)的建立，终于在十四世纪初建立起一套完整的方程学理论，使之成为宋元数学届最有成就的课题。其次，贾宪三角的给出，开创了高阶等差级数求和问题的研究方向，朱世杰从“三角”的每条斜线上发现了“三角垜”、“撒星形垜”等高阶等差级数求和公式。第三，“增乘开方法”事实上简化了筹算程序，并使程序化更加合理，这对后世筹算、捷算乃至于算具的改进是有启迪意义的。第四，“细草”这一著述形式开创了一种数学研究方法，被后世数学家广为借鉴。乾嘉学派在保存和整理数学著作时，就曾对一批算书或注释或细草图说。

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贾宪 - 参考资料

[1] 数学通报 http://www.gotoread.com/article/?wid=69775

[2] 数学教育网 http://wz.shuxue.com.cn/2006/2006-09-30/20060930201142.html

[3] 中学数学网 http://www.czsx.com.cn/download.asp?id=1969